المسائل الرياضية اللفظية

مقدمة :

أصبح من الواضح في أواخر الستينات أنه من المحتمل أن تلعب الرياضيات دورا رئيسا في العلوم والتكنولوجيا. ومع ذلك فقد وقف تعليم الرياضيات غير الملائم حائلا دون تفاهم المجتمع العلمي مع بقية أفراد المجتمع، بل لقد اعتبر البعض أن الرياضيات هي أداة التمييز العقلي، أو على الأقل عقبة هامة في طريق نمو بعض البلدان. ولهذا فقد أصبح من الواجب التوسع في نشر معرفة أفضل بالرياضيات وإيصالها إلى غالبية الناس. كما ينبغي تحسين موقف المجتمع من الرياضيات من أجل تقوية النمو العلمي وتزكية المشاركة فيه بما يكون أكثر إنصافا في تحمل مسؤولية نتائجه، وجعله أكثر إنسانية وكفاءة في نفس الوقت. هذا، ومن أجل تضييق الهوة بين الشكل الذي تعرض به الرياضيات في الحياة الثقافية العامة، والشكل الذي تستخدم به في العالم العلمي، فقد برزت الحاجة إلى طرق حديثة لتقديم مادة الرياضيات. وكانت هذه هي الأسباب التي قدمت للرياضيين وسيلة تحديد موضع الحاجة إلى التحديث بمختلف جوانبه، لكي يحسنوا وينسقوا تعليم مادتهم ويمارسوا الإشراف العلمي عليها .

وسأتطرق في هذا التقرير إلى أحد أهم الموضوعات في الرياضيات المرتبطة بواقع الحياة ألا وهو المسائل الرياضية اللفظية، موضحة ماهية المسائل الرياضية اللفظية ، وأهم الصعوبات التي تواجه الطلاب عند تعلم المسائل الرياضية اللفظية، والتي تعتبر تحديات بالنسبة للمعلمين عند تدريس المسائل الرياضية اللفظية ، وسأذكر بعض الإستراتيجيات المقترحة لحل المسائل الرياضية اللفظية ورفع مستوى مهارات التمثيل الجبري والهندسي لدى الطلاب .




ماهية المسألة الرياضية اللفظية :

إن من الخطأ الشائع لدى بعض المعلمين اعتبار المسألة الرياضية على أنها مسائل لفظية تطبق فيها المبادئ والتعميمات الرياضية والعمليات الحسابية، فليس كل مسألة لفظية هي مسألة رياضية كما لا تقتصر المسائل الرياضية على المسائل اللفظية فقط ولكن ذلك يعتمد على مستوى المعرفة والخبرة التي يمتلكها الفرد .

ويرى فريد كامل أبو زينة أن الفرق الرئيسي بين المسائل الرياضية اللفظية والتمارين يكمن في الغاية الموجودة من كل منهما، فالتمارين تهدف الى تعليم مفاهيم رياضية، وتطبيق مبادئ وتعميمات معينة، أما المسائل الرياضية اللفظية فغايتها تعليم مبادئ التعلم التي تتعلق بحل المسائل.

ويعرف فريدريك المسألة الرياضية اللفظية على أنها التمارين التي تتطلب من الطالب القيام بأنشطة تشمل إدراك الكلمات والرموز وربط المعنى الحرفي بالكلمات والرموز ، وتحليل العلاقات بين الكلمات والرموز، وتكون هذه التمارين مصاغة في صورة نثر .

بينما يعرفها رمضان مسعد بدوي على أنها موقف كمي تم وضعه في صورة كلمات، هذا الموقف يحتوي على سؤال يتطلب إجابة، ولا يشير الموقف صراحة إلى العمليات والخطوات اللازمة للوصول إلى الإجابة ، ويستخدم فيه التفكير السليم للوصول إلى علاقات تربط بين عناصر الموقف .







التمثيل الجبري للمسألة الرياضية اللفظية وأهميته في حلها :

إن حل المسائل الرياضية اللفظية هو المستوى الأعلى للنشاط السيكولغوي في عملية قراءة الرياضيات، وهذا المستوى يتطلب أن يقوم الفرد بتركيب المسائلة من جديد في جمل رياضية رمزية، وهنا تكمن الصعوبة فقد أوضحت الكثير من الدراسات أن الطلاب يعانون من صعوبة في حل المسائل المصاغة في سياقات لفظية تفوق تلك التي يعانونها في إجراء العمليات الحسابية نفسها - التي تعتمد عليها تلك المسائل- في معزل عن تلك السياقات اللفظية .

وإن عملية التمثيل الجبري للمسائل الرياضية اللفظية يساعد على تعميم الفهم والاستيعاب في عملية حل المسائل الرياضية اللفظية الجبرية ويبدو ذلك واضحا في ترجمة وتحويل الألفاظ والعلاقات الكمية إلى معادلات يسهل حلها، حيث يشير بوليا إلى أن تكوين المعادلات معناه التعبير بالرموز عن شرط مذكور بالألفاظ في المسألة الرياضية وبالتالي فهو ترجمة من لغة الكلام إلى لغة القوانين الرياضية .

ويعرف محمد طالب الابراهيم التمثيل الجبري للمسألة الرياضية اللفظية بأنه "تحويل المسالة اللفظية إلى معادلة، أو جملة مفتوحة باستخدام الرموز، والإرشادات الرياضية لتكوين علاقات" .




التمثيل الهندسي للمسألة الرياضية اللفظية وأهميته في حلها :

يعد التمثيل خطوة هامة من خطوات حل المسألة الهندسية، وتساعد النماذج الهندسية على تخيل الشكل الهندسي الذي يتم من خلاله تحليل وحل المسائل، كما أنها تساعد على اكتشاف العلاقات بين عناصر معطيات المسألة، وتطوير الحس المكاني عن طريق تمثيل ورسم وقياس ومقارنة وترجمة وتصنيف الأشكال الهندسية .

ويعرف محمد طالب الابراهيم التمثيل الهندسي للمسألة الرياضية اللفظية بأنه "تخطيط المسألة برسم هندسي يوضح عليه الرموز، بحيث يسهل فهم المسألة من خلال هذا الشكل" .

ويوضح شوق أهمية التمثيل الذهني في رسم الأشكال الهندسية التي تعبر عن المسائل الرياضية اللفظية، حيث يرى أن التمثيل الذهني يمهد لرسم الصورة التخطيطية للمسالة، وبناء عليها يتم اختيار الطريقة ثم الأدوات التي سوف تستخدم في تنفيذ الرسم، ثم يتم بعد ذلك تنفيذ الرسم، وأخيرا النظر في الرسم للتأكد من مدى تمثيله للخصائص الهندسية والمعطيات الواردة في المسألة اللفظية .





تدريس حل المسألة الرياضية اللفظية :

لقد تطورت النظرة إلى الرياضيات وأساليب تدريسها خلال العقود الثلاثة الأخيرة تطورا كبيرا، ويعتبر حل المسألة من أهم الموضوعات التي شغلت التربويين في مجال الرياضيات.
فقد أصبح المطلوب تدريس الرياضيات عن طريق حل المشكلات في بيئة صفية مشجعة على الاستقصاء، وذلك بدلا من تدريس حل المشكلات كموضوع في الرياضيات .

وهذه النظرة تتطلب من المعلمين أن يخططوا لدروسهم بحيث يشجعوا طلابهم على اكتشاف العلاقات بين الموضوعات المختلفة عن طريق الاستقصاء وأن يعملوا على تقويتها من خلال المسائل. وأن يوجهوا طلابهم نحو الاهتمام بكيفية التفكير في حل المشكلات بمختلف أنواعها أكثر من الاهتمام بالحل نفسه.

ونلاحظ أن للمعلم دور مهم في عملية تدريس حل المسائل في الرياضيات، وذلك من خلال اختياره للمسألة، وتدريب الطلاب على طرق وأساليب التفكير في حلها، وإتاحة الفرصة لهم للحوار والمناقشة لحلها، مما يترتب عليه تحسين قدرات الطلاب في حل المسألة الرياضية .

ويجب على المعلم أن يكون واعيا في اختيار المسائل الرياضية اللفظية التي يمكن للطلاب أن ينجحوا في حلها، وتقديم المساعدة اللازمة لهم لتحقيق ذلك، وهناك عدة معايير يجب أن توضع في الاعتبار عند انتقاء هذه المسائل وقبل طرحها للطلاب، ومن أهمها :

1) أن تكون المسألة مهمة رياضيا .
2) أن يدخل في سياق المسألة أشياء حياتية وحقيقية، أو محاكاة واضحة لأشياء حقيقية .
3) أن تطرح المسألة فرصا لمستويات مختلفة من الحلول .
4) أن يكون من الممكن تكوين مواقف أخرى من المسألة بشرط أن يكون لها نفس البنية الرياضية .

ويعزز ذلك بإقناع الطلاب بإمكانهم حل المسألة الرياضية، ويجب أن يعرفوا أن لديهم حلا لها .




بعض الصعوبات التي تواجه الطلاب عند دراسة المسائل الرياضية اللفظية:

يعاني الطلاب من صعوبات في تعلم الرياضيات بشكل عام، والجبر والهندسة بشكل خاص نتيجة أوجه قصور حسية أو عقلية أو انفعالية أو ثقافية أو اجتماعية أو تدريسية أو خاصة بالقراءة . وتعتبر الصعوبات التي يواجهها الطلاب بمثابة تحديات للمعلم عند تدريس المسائل الرياضية .

ويحدد إسماعيل محمد الأمين بعض جوانب الصعوبات في الجبر والهندسة :
• صعوبة في الاستنتاج .
• صعوبة في تذكر الحقائق والعلاقات .
• صعوبة في استيعاب الأفكار والرموز المقدمة لهم .
• صعوبة في تطبيق القواعد والخوارزميات .
• الصعوبة في نقل الخبرة من موقف إلى آخر .
• الصعوبة في تنظيم أعمالهم .
• الصعوبة في تحديد المطلوب منهم عمله عند حل المسائل .
• الصعوبة في فهم الخطوات المتبعة في الحل .


ويقدم جابر عبد الحميد، ويحيى حامد هندام بعض الصعوبات التي تواجه الطلاب عند حل المسائل الرياضية، حيث تم الإشارة إلى الصعوبات التي تواجه الطلاب في كل خطوة من خطوات حل المسألة الرياضية وذلك كالآتي :
• في الخطوة الأولى والتي تتضمن قراءة المسألة، يوجه الطلاب صعوبات مثل ضعف قدرته على القراءة، وصعوبة فهم المصطلحات التي تحتويها، كما ان المسألة يمكن أن تشتمل على كلمات لا توجد في حصيلة الطلاب من المفردات، إضافة إلى هذا قد تكون صياغة المسألة صعبة بالنسبة للطلاب .

• في الخطوة الثانية والتي تتضمن تحديد المعطيات والمطلوب قد تواجه الطلاب صعوبة في تفسير الجداول أو الرسوم البيانية أو الخطط، ويمكن أن تواجه الطلاب كذلك صعوبة في اختيار البيانات الرقمية من رأس السؤال واستخدامها في الإجابة .

• وفي الخطوة الثالثة والتي تتضمن وضع خطة الحل، تواجه الطلاب صعوبة تحديد العملية اللازمة لحل المسألة وكذلك ترتيب هذه العمليات لحل المسألة، وهي تعتبر من أصعب الخطوات التي يقوم بها الطلاب .

• وفي الخطوة الرابعة والتي تتضمن تنفيذ الحل، قد يجد الطلاب صعوبة في إجراء العمليات الحسابية اللازمة، وكذلك يمكن أن تواجههم صعوبة في الإلمام بالحقائق والعمليات المساعدة في حل المسألة.

• وفي الخطوة الأخيرة التي تتضمن التحقق من صحة الحل، يواجه الطلاب صعوبة من حيث الخلط بين العمليات التي تستخدم في التحقق من صحة الحل .


بالإضافة إلى أن الصعوبات المصاحبة لخطوات حل المسألة الرياضية نضيف بعض الصعوبات التي قد تواجه الطلاب في حل المسائل الرياضية في الجبر والهندسة ومنها :
• أن لغة الرياضيات لها خصائص تضفي على القراءة تعقيدا، فهي لغة حساسة ودقيقة، ولذلك قد يترتب على القراءة السريعة مشاكل، فحذف كلمة أو حرف قد يغير المعنى .
• صعوبات نتيجة التقارب بين المصطلحات مما يؤدي إلى خلط في الفهم ، مثلا المقسوم ، والمقسوم عليه ، والمضروب ، والمضروب فيه .
• من بين الصعوبات استخدام نفس الكلمة للتعبير عن معاني اصطلاحية مختلفة في الرياضيات مما يربك فهم الطلاب، فمثلا كلمة الباقي تستخدم في عمليات الطرح والقسمة .
• صعوبات تتمثل في تعدد الرموز الرياضية المعبرة عن مصطلح رياضي واحد، فمثلا عملية القسمة يرمز لها بالرموز التالية ( ÷ ، −─ ، : ) .
• صعوبات في فهم معاني الرموز الرياضية .
• صعوبات في فهم المفاهيم الرياضية الأساسية، وما يترتب عليه من قدرة على ادراك العلاقات بين عناصر المسألة مما يسهل عملية الحل .


وتوصلت دراسة نيشر إلى أن أهم أسباب صعوبة حل المسائل الرياضية اللفظية ، هو تعارض الموقف المقترح في المسألة مع العملية المطلوبة لحلها في أذهان الطلاب .

كما يشير كيران إلى أن أحد أسباب الصعوبات التي يعاني منها الطلاب عند دراستهم للجبر، هو ألفتهم التعامل مع الأعداد لفترة طويلة في المراحل الدنيا ، وعند انتقالهم للصفوف العليا يصعب عليهم التعامل مع الرمز، على أنه يعبر عن عدد مجهول .

كما يشير عبد المجيد عبد العزيز إلى ان الصعوبات التي تواجه الطلاب عند حل المسائل الرياضية اللفظية في الهندسة تتمثل في :
• صعوبات خاصة بطريقة التدريس المتبعة .
• صعوبات خاصة برسم الشكل الهندسي .
• صعوبات خاصة بترجمة المسألة الى معطى ومطلوب .
• صعوبات خاصة بترجمة المسألة .
• صعوبات تتعلق بنقص الخلفية الرياضية عند الطلاب .
• صعوبات تتعلق بضعف حصيلة الطلاب من الخطط والإستراتيجيات .






استراتيجيات التمثيل الجبري والهندسي للمسألة الرياضية اللفظية وحلها :

مفهوم الإستراتيجية التدريسية :
يعرف كمال زيتون الإستراتيجية التدريسية بأنها " مجموعة من إجراءات التدريس التي يخططها المعلم مسبقا، بحيث تعينه على تنفيذ التدريس في ضوء الإمكانات المتاحة لتحقيق الأهداف التدريسية لمنظومة التدريس التي يبنيها وبأقصى فعالية ممكنة " .

ومن هذا المنطلق سأعرض عددا من الاستراتيجيات التي تناولها الأدب التربوي، والتي أعدت لحل المسائل الرياضية اللفظية، وعلى اعتبار أن التمثيل الجبري والهندسي للمسالة الرياضية اللفظية إحدى خطوات الحل، وسوف نستخلص منها الإستراتيجية المقترحة في رفع مستوى مهارات التمثيل الجبري والهندسي للمسائل الرياضية اللفظية وحلها، ومن هذه الاستراتيجيات ما يلي :

استرتيجية فريق (IPSP) :
وتتكون من أربع خطوات لمساعدة الطلاب في حل المسائل الرياضية وهي :
الخطوة الأولى : مرحلة التعرف على المسألة .
وفيها يقوم الطالب بما يلي :
• قراءة المسألة بعناية والتعرف على الكلمات الواردة بها .
• تحديد الحقائق المناسبة للحل .
• تحديد المطلوب في المسألة .
• التعرف على المعلومات الزائدة أو الغير الكافية .

الخطوة الثانية : مرحلة اختبار ما يجب فعله (طريقة الحل) :
وفيها يقوم الطالب بتحليل المسألة للتعرف على الطريقة التي سيتبعها في الحل وقد تتضمن ما يلي
• تكوين جدول أو رسم شكل توضيحي .
• استخدام معادلة .
• المحاولة المنظمة أو الخطأ .

الخطوة الثالثة : مرحلة تنفيذ الطريقة المناسبة للحل :
وفيها يقوم الطالب بتنفيذ طريقة الحل وذلك عن طريق :
• كتابة البرهان .
• إجراء العمليات الحسابية .
• الاستنتاج من خلال الأشكال التوضيحية أو الجداول .

الخطوة الرابعة : مرحلة مراجعة الحل
وتتضمن هذه المرحلة :
• تحقيق الشروط الموجودة في المسالة .
• حل مسائل أخرى مشابهة بنفس الطريقة .
• استخدام حلول أخرى أو طرق أخرى للوصول للحل .


إستراتيجية فريد أبو زينة

وفيها قام بتعديل إستراتيجية بوليا لتوافق حل المسائل اللفظية في الجبر والمثلثات على النحو التالي :
الخطوة الأولى : التعرف على المسألة وفهمها، وتشمل :
• كتابة المسألة بلغة الطالب .
• إبراز وتحديد المعلومات الواردة في المسألة (المعطيات والمطلوب) .
• تذكر مسألة ذات علاقة .

الخطوة الثانية : رسم تخطيطي للمسألة وتشمل :
• رسم شكل يوضح المسألة .
• تحديد البيانات المتوفرة في صورة جدول أو على الشكل التوضيحي الذي رسم .
• رؤية الحقائق والعلاقات بين أجزاء المسألة .

الخطوة الثالثة : اختيار المتغير أو المتغيرات ورموزها وتشمل :
• اختيار الرمز أو المتغير المناسب .
• التعبير عن كل المعلومات المتوفرة بدلالة ذلك المتغير .
• اختيار متغير آخر إذا كان ذلك أسهل .

الخطوة الرابعة : كتابة المعادلة أو الجمل المفتوحة التي توضح العلاقة بين المعطيات والمطلوب :
• استخدام جميع المعلومات في الجمل المفتوحة .
• محاولة العودة الى الخلف، وقراءة المعلومات في الجملة المفتوحة .
• تذكر جملة مفتوحة أو معادلة مشابهة .

الخطوة الخامسة : حل المعادلة او الجملة المفتوحة وتشمل :
• البدء في تبسيط المعادلة او المعادلات .
• الوصول الى الجواب الصحيح .

الخطوة السادسة : مراجعة الحل وتشمل :
• التأكد من خطوات الحل السابقة .
• التحقق من صحة الجواب .
• الحل بطريقة أخرى اذا كان ضروريا .


نلاحظ أن معظم الاستراتيجيات تركز على عدة نقاط أهمها :
• فهم المسألة، وقراءتها وتحديد المعطيات والمطلوب فيها .
• محاولة ادراك علاقات تربط بين المعطيات والمطلوب .
• تمثيل المسألة برسم أو شكل أو نموذج توضيحي .
• وضع خطة للحل بالاعتماد على الحقائق والمعلومات المتوافرة وكذلك القوانين المرتبطة .
• تحويل الصياغة اللفظية الى معادلات رياضية أو أشكال هندسية .
• اجراء العمليات الحسابية للوصول الى الحل .
أما بالنسبة للاستراتيجيات الخاصة أو أنماط التفكير، فقد وردت عدة تصنيفات لها، تساعد في قياس أداء الطلبة في حل المسائل، فمثلا صنف دي وال الاستراتيجيات الى :
1) المحاولة والتعديل .
2) رسم صورة او استخدام نموذج .
3) البحث عن نمط .
4) عمل جدول .
5) عمل قائمة منظمة بالمحاولات .
6) العمل بطريقة عكسية .
7) الاستدلال المنطقي .
تجريب مسألة أبسط مشابهة .
9) كتابة معادلة أو جملة مفتوحة .




وفي هذا الصدد لا بد من الإشارة إلى أنه ليس من الضروري أن تكون إستراتيجية واحدة كافية لحل المسألة، بل يمكن استخدام عدة استراتيجيات في حل المسألة الواحدة ، وأحيانا يمكن استخدام إحدى الاستراتيجيات لكي تقود إلى إستراتيجية أخرى مساعدة للحل .





المراجع :


1) رسالة ماجستير "إستراتيجية مقترحة لرفع مستوى مهارات التمثيل الجبري والهندسي للمسائل الرياضية اللفظية وحلها لدى طلاب الصف الثامن الأساسي في منطقة الظاهرة بسلطنة عمان" ل مجيد بن سيف النزواني . (2008) .


2) كتاب "دراسات في تعليم الرياضيات" ، إعداد روبرت مريس ، ص:377 .


3) كتاب "تدريس الرياضيات للمبتدئين" ، فريد كامل أبو زينة ، ص: 104


4) رسالة ماجستير "أثر استخدام نموذج ليستر لحل المشكلات على تلاميذ الصف الثاني الإعدادي" ل عبد المجيد عبد العزيز ،(1994) .


5) كتاب "طرق تدريس الرياضيات"، فريدريك ، الجزء الثاني ، ص: 238 .