الجذر التربيعي للعدد المركب

الجذر التربيعي للعدد المركب The Square Root of Complex Number

الجذر التربيعي للعدد المركب z هو العدد المركب w الذي يحقق المعادلة ويرمز للجذر التربيعي بالرمز .

حسب النظرية[م] الأساسية للجبر فإن المعادلة لها حلان (جذران) في مجموعة الأعداد المركبة. إذا كان w جذرا تربيعيا للعدد z فإن نظيره الجمعي -w جذرا تربيعيا أيضا وذلك لأن .

حقيقة 1: إذا كان z عدد مركب بحيث فإن الجذرين التربيعيين له يعطيان بالعلاقة




البرهان: افرض أن جذر تربيعي للعدد . إذا كان فالنتيجة[م] واضحة لذلك افرض أن . إذا



بنشر المقدار المربع[م] ومقارنة الجزء الحقيقي والجزء التخيلي في كلا الطرفين نصل إلى أن



بتربيع المعادلة الثانية والتعويض منها في المعادلة الأولى عن والترتيب نجد أن



وهذه معادلة من الدرجة الثانية في تحل بقانون معادلة الدرجة الثانية وبالتالي




بما أن غير سالب نهمل الإشارة السالبة لأن . إذا



إذا القيمة الموجبة للعدد الحقيقي x هي



اقسم المعادلة على 2x والتعويض عن x والضرب في مرافق الجذر الناتج.






إذا


حيث تعني إشارة العدد b. إذا



الصورة المثلثية لجذر العدد المركب
يمكن الوصول لقانون أخر لحساب الجذر التربيعي من خلال الصورة المثلثية للعد المركب. إذا كتبنا العدد المركب z بالصورة المثلثية




حيث r هي مقياس العدد المركب و سعة أو زاوية[م] العدد المركب . من نظرية ديموافر




من هنا نستنتج وبسرعة أحد الجذور التربيعيه للعدد z وحيث الجذران متناظران جمعيا فإن




بما أن فإن هذا القانون يمكن كتابته بشكل آخر بدلالة العدد المركب , كاتالي